经验：数学思维教学的着力点

随着课程改革的深入，新课标要求，要充分利用学生的数学经验，提高教学效能。如何将经验与数学思维教学结合起来，值得思考。

知识化的“误解”

经验应该在数学思维教学的整个过程中发挥引出情境、呼应策略以及总结评价的作用。很多教师认为，经验就是由表象转化的一般性知识。在教学中，窄化了经验，将解题经验作为教学的核心，进行机械性传授，忽视了数学思维。

现实情境将数学本质与人的原始经验相对应，唤醒无需通过反思和形式化语言把握的直接性体验。大数、十进制意义可在表达顺畅中体会，方格纸直接展现了坐标的唯一性，加法和乘法模型均可由现实常见事件抽象化。

现实中很多并没有、也不需要精确解。操作实物的核心是“转化”思维：复杂变简单，多类化为一类，陌生变熟悉。数学基本思想方法均源于“转化”：条件与结论互调，局部与整体性质转化，数与形互换以便简化问题，将有限情形下的结论推广到无限（也可相反）。采取典型现实情境，引导学生多角度看问题，引发多思维联动。数学思维形式脱胎于逻辑的基本形态，需要通过对话等任务情境，提供给学生学会不同措辞方式的机会以提高对经验中逻辑和语言的敏感度，强化数学思维的交叉性和发散性，形成直观感觉。

推理的多样性和差异性

推理，基于皮亚杰认知理论，可建立填充、推断、扩大和否定这四种心理行为。经验与这四种行为联系紧密，体现了推理特征，进而反映数学思维。填充体现了如何引用示例，推断通过联结属性将数学定理、公式、概念联系，扩大指的是具有不同属性的例子间有明显重叠的地方，否定抓住了相反性质。

经验，反映了个体的推理风格兴趣。根据哈金的研究，假设式推理以具有预设属性的预设对象为基础，创造演绎式结构的理论，必须推导出一个断言的正当性；推理中倾向于实验风格的通过对象的可观察和可测量特征来定义对象；倾向于建模风格的通过与其他理论对象的类比来定义其对象；利用分类方式进行推理的根据对象在分类中的位置来定义对象；统计推理方式用随机出现的规律来定义对象；遗传风格将推理对象定义为发展性的。采用不同的推理风格、方式会有不同理解，通过添加、区分、连接、合并可以拓宽理解。教师要注重学生推理的个性化和差异化，还要帮助其形成系统化和结构化的推理体系。通过形成健全的推理风格，理解知识是如何可能的、被证明的知识是如何通过特定推理形式而获得以及推理形式的演变。不断反思推理的特定形式，理解数学的意义层面、内容与形式间的联系。

形式化与非形式化的平衡

拉卡托斯将“数学发现的逻辑”描绘为：在问题和非形式化背景中提出猜想和非形式化证明，紧接着是对猜想或非形式化证明的反驳和论证，进一步探讨改进猜想和证明，以此循环。

经验共相介于知觉和概念普遍性之间，是个体对事物较为原初知识。形式化教学过于关注局部目标的达成，教师常以追求数学对象特征和规律进行本质主义提问。强调答案的精确、问题解决的快速和术语的准确，极易走向理性强权。根据诠释学的解释，这种原初知识不一定是可被重复和证实的。因此，在形式化教学中，解决问题的艺术性可能会被僵硬的演绎步骤所取代，学生很难在某个层面实际创造。非形式化教学十分注重个人体验、直觉和主体地位，与“经验处于不断的修正和更新中”相符合。

要实现形式化与非形式化的平衡，更聚焦问题实质。引导学生讨论非形式化与形式化表征的交互关系：将概念与短语或单词相联系，通过感官体验思考，在形式化概念拓展和对应思想出现时修正原有观点；在推理时，先提供研究对象的非形式化表征模型，然后表征推理语句并讨论语句的关系和对非形式化表征的约束，保持推理步骤中不变的性质和关系。倡导从具体例子中归纳、使用简例和视觉表征、利用相关问题或子问题等不同方法识别概念间关系、理解给定任务、解决问题，思考数学思维。形式化专注数学领域导致低综合化，而学科边界流动性越来越高。因此，要开创有边缘交叉性、背景性和开放性的背景，培养创新性思维。

整体性和阶段性的兼顾

在一个阶段内，个体只能生成有限的经验，并且会受环境所限。随着阶段的变化，经验会增长，但无法得到关于被经验物的所有经验。经验具有一般性和整体性这两种类型，不同类型的经验价值不同。数学思维种各要素相互联系，密不可分。在数学思维教学中，需要根据经验所处的阶段，兼顾整体性，尽可能发挥经验的最大价值。

以新课标为例，不同年龄段由于经验关注的数学思维类型不同，同一类数学思维的关注点也不同。小学1-2年级主要是能初步从方法层面看问题，了解简单策略。3-4年级能初步概括，用计数单位概括算理，根据角、边等特征概括图形，概括统计图功能；对策略深化，学会比较、类比、归纳，从长度可加性类比面积可加性，归纳运算律。5-6年级需要强化反思，多种思维共同发展，探索数的特征，统筹四则运算；建立平面和立体间联系，探索面积和体积；在共性与区别基础上感知基于合理性的价值判断准则，针对随机现象不同基本特征选择合适表达方式。在初中，用抽象符号抓住关键，将四则运算法则迁移到代数式，用未知量转化问题；建立关于欧氏几何的几何体系，分析比较图形；认识抽样的必要性、数据特征和统计图功能；感悟归纳和演绎这两大有代表性的推理形式。初中数学要对具有不同性质的数学对象，进一步提炼经验中的数学方法和结构，多角度认识问题、分析现实世界。

在教学设计中，要注重具体数学内容、数学模块主线、数学核心素养、经验间的关系。

界定课标中的数学思维要素和所涉经验，研究教材的特点与不足，架构教学目标，而不仅仅从知识和认知维度考虑问题。还可以融入单元教学设计的方法，多方式组织教学。

基础性与创新性的并重

创设任务是数学课堂教学指向思维的核心环节。新课标提供的实例也显示，任务总体体现基础性和创新性。

任务起点低，易于符合学生经验，引起认知冲突，激发积极的思维动机。善于利用小问题，说明推理和数学理性精神的重要性。要特别增加能反映思想方法必要性、形成逻辑以及想法作用的例子，促进反思。鼓励学生用经验中的实例描述陌生概念，在几何直观中体会图像与表达式的相互一致性。

例子不应局限于单个经验，应力求体现最基本的数学思想和活动经验。例子应能提供基本方法框架，形成示范；鼓励自主探索基础结论。例子从具体到一般，体现同一经验的逐渐深化。用不同方式体会变化关系、基本性质。在反思中，展示策略的变化。

新课标更关注现实问题，符合社会需求和时代发展，注重创新。培养学生关于计算机算法和编程方面的经验，才能解决部分发散性很强的统计问题。通过主题和项目式学习，充分挖掘学生的跨学科经验理念，经历提出问题、探究与解决、批判反思并在合作交流中协调、组织和表明自己的观点。

非标准化任务不提供方向或策略，没有标准答案，鼓励学生根据经验自主组织信息、激发创造潜力、进行非算法思考。还有一些例子，并没有多种解决方案，似乎不鼓励灵活和独创性，但通过不同表征方式将学生引入新的经验领域。因此，可通过是否涉及多种表征、数学交流、外部信息、多种答案、多种解法、指导说明、标准化以及可拓展性等，全面评判任务的创造性特征。

（作者/钱诣文  南京师范大学数学科学学院）